7. Нелинейные системы уравнений

В данном разделе мы рассмотрим методы решения нелинейных систем уравнений

\[\begin{split}\begin{split} f_1(x_1, x_2, \ldots, x_n) &= 0,\\ f_2(x_1, x_2, \ldots, x_n) &= 0,\\ \vdots\\ f_n(x_1, x_2, \ldots, x_n) &= 0. \end{split}\end{split}\]

Для краткости, мы будем записывать нелинейные системы в виде

(7.1)\[\mathbf{f}(\mathbf{x}) = \mathbf{0},\]

где \(\mathbf{x} = [x_1, \dots, x_n]^\top\), \(\mathbf{0} = [0, \dots, 0]^\top\) (вектор из \(n\) нулей), а функция имеет вид \(\mathbf{f}:\ \real^n \to \real^n\), т.е. число уравнений совпадает с числом неизвестных.

Отметим, что у нелинейной системы (7.1) может быть несколько решений, а может ни быть ни одного (Рисунок 7.1). В общем случае заранее узнать количество решений в нелинейной системе невозможно, в отличие от линейной \(\mathbf{f}(\mathbf{x}) = \mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b} = \mathbf{0}\). По этой причине не существует общего метода решения нелинейных систем, а анализ количества решений возможен лишь в частных случаях.

Рис. 7.1 К неизвестности количества решений в нелинейных системах. Показан случай двух уравнений \(f_1(x_1, x_2) = 0\) и \(f_2(x_1, x_2) = 0\). Для линейной системы уравнений (a, b) можно заранее определить число решений: ни одного, одно или бесконечно много (совпадающие прямые). Для нелинейной системы (c, d, e) число решений в общем случае заранее узнать нельзя.