3.4. Обусловленность линейных систем

По аналогии с обусловленностью вычисления скалярной функции, вводится понятие обусловленности линейной системы

\[ \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}. \]

Нас интересует, как относительное изменение правой части повлияет на относительное изменение решения. Т.е. рассмотрим возмущенную систему

\[ \mathbf{A} (\mathbf{x} + \delta\mathbf{x}) = \mathbf{b} + \delta\mathbf{b}. \]

И найдём оценку для величины

\[ \frac{ \dfrac{\|\delta \mathbf{x}\|}{\|\mathbf{x}\|}}{ \dfrac{\|\delta \mathbf{b}\|}{\|\mathbf{b}\|} } = \frac{\|\delta \mathbf{x}\|}{\| \delta\mathbf{b} \|} \frac{\| \mathbf{b} \|}{\|\mathbf{x}\|} \]

Поскольку \(\mathbf{b} = \mathbf{A}\mathbf{x}\), то \(\|\mathbf{b}\| \le \|\mathbf{A}\| \|\mathbf{x}\|\). В свою очередь, из возмущённой системы следует, что \(\delta\mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}\), отсюда получаем

\[ \frac{ \dfrac{\|\delta \mathbf{x}\|}{\|\mathbf{x}\|}}{ \dfrac{\|\delta \mathbf{b}\|}{\|\mathbf{b}\|} } \le \| \mathbf{A}^{-1} \| \| \mathbf{A} \|. \]

Так, вводится определение.

Определение 3.13

Числом обусловленности обратимой квадратной матрицы \(\mathbf{A}\) называют

\[ \kappa(\mathbf{A}) = \| \mathbf{A}^{-1} \| \| \mathbf{A} \|. \]

Значение \(\kappa(\mathbf{A})\) зависит от выбора нормы. Для вырожденной матрицы \(\kappa(\mathbf{A}) = \infty\).

Число обусловленности матрицы является числом обусловленности решения линейной системы. Выше выведено утверждение при возмущении правой части, аналогичное утверждение имеет место и при возмущении матрицы системы [DB17].

Утверждение 3.14 (Обусловленность линейной системы)

При возмущенной правой части системы \(\mathbf{A} (\mathbf{x} + \delta \mathbf{x}) = \mathbf{b} + \delta\mathbf{b}\) справедлива оценка

\[ \frac{\|\delta\mathbf{x}\|}{\| \mathbf{x} \|} \le \kappa(\mathbf{A}) \frac{\|\delta\mathbf{b}\|}{\|\mathbf{b}\|}. \]

При возмущённой матрицы системы \((\mathbf{A} + \delta\mathbf{A}) (\mathbf{x} + \delta \mathbf{x}) = \mathbf{b}\) справедлива оценка

\[ \frac{\|\delta\mathbf{x}\|}{\|\mathbf{x}\|} \le \kappa(\mathbf{A}) \frac{\|\delta\mathbf{A}\|}{\|\mathbf{A}\|}, \quad \|\delta\mathbf{A}\| \to 0. \]

3.4.1. Оценка ошибок

Обозначим для линейной системы \(\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\) найденное (численное) решение через \(\tilde{\mathbf{x}}\). В большинстве случаев изучать ошибку \(\mathbf{x} - \tilde{\mathbf{x}}\) невозможно, поскольку истинное решение неизвестно. Однако, можно показать [DB17], что

\[ \frac{\|\mathbf{x} - \tilde{\mathbf{x}} \|}{\|\mathbf{x}\|} \le \kappa(\mathbf{A}) \frac{\| \mathbf{b} - \mathbf{A}\tilde{\mathbf{x}}\|}{\|\mathbf{b}\|}. \]

Эта оценка устанавливает связь между относительной ошибкой решения и относительной невязкой решения. Невязку \(\mathbf{b} - \mathbf{A}\tilde{\mathbf{x}}\), в свою очередь, подсчитать можно.