4.4. Задания#

4.4.1. Вязкость разреженного газа#

Многие корреляционные модели вязкости (например, [ADPP92]) предоставляют формулу для вычислений

\[\eta_{\text{c}}(\upsilon, T),\]

где \(\upsilon\) молярный объём и \(T\) температура. Индекс \(\text{c}\) отражает тот факт, что внутри формула параметризована для конкретного вещества. Как правило, параметризация производится по экспериментальным данным, а набор параметров для некоторых веществ приводится вместе с моделью.

Подобные корреляции включают в свою модель вязкость разреженного газа \(\eta_{0\text{c}}\) как низкоплотный предел

\[\eta_{\text{c}}(\upsilon, T) \to \eta_{0\text{c}}(T), \quad \upsilon \to \infty.\]

В свою очередь, низкоплотные пределы исследуются аналитически. В этом задании вам предстоит реализовать одну такую модель.

Модель разреженного газа.

Модель ниже приводится из [71].

Уравнение модели получено из физической кинетики. Выведено для низкоплотного состояния неполярного газа. Модель учитывает кинетическое взаимодействие и взаимодействие по потенциалу Ленарда-Джонса (Л-Ж) между частицами вещества.

Модель даёт уравнение

(4.15)#\[\eta_{0\text{c}}(T) = 8.44107\times 10^{-5}\cdot\frac{\sqrt{M T}f_\eta(T^*)}{\sigma^2 \Omega^{(2,2)*}(T^*)},\]

где

  • \(\eta_{0\text{c}}\) – вязкость разреженного газа [Па с];

  • \(T\) – температура газа [К];

  • \(M\) – молярная масса газа [кг моль⁻¹];

  • \(T^*\) – приведённая температура, \(T^* = kT / \varepsilon\), где \(\varepsilon/k\) [K]

    • \(\varepsilon\) – энергетический параметр в Л-Ж потенциале

    • \(k\) – постоянная Больцмана;

  • \(f_\eta(T^*)\) – уточняющий фактор;

  • \(\sigma\) – пространственный параметр в потенциале Л-Ж [Å];

  • \(\Omega^{(2,2)*}(T^*)\) – приведённый интеграл столкновения;

  • численный множитель получается после подстановки значений физических констант.

В уравнении (4.15) вещество \(\text{c}\) определяется тремя параметрами \(M\), \(\sigma\) и \(\varepsilon/k\).

Функции \(f_\eta(T^*)\) и \(\Omega^{(2,2)*}(T^*)\) в [71] задаются в табличном виде, ссылки на таблицы приведены ниже

  • табличное определение функции \(f_\eta(T^*)\), pdf;

  • табличное определение функции \(\Omega^{(2,2)*}(T^*)\), pdf.

Таким образом, при реализации модели (4.15) возникает задача интерполяции.

Задание.

Вам необходимо реализовать модель разреженного газа (4.15) и посчитать вязкости для веществ из таблицы ниже в диапазоне температур \(T\in[T_\min, T_\max]\).

Вещество M, г/моль σ, Å ε/k, K Tmin, K Tmax, K NIST
CO₂ 44.009 3.996 190 300 1000

[ссылка]
CH₄ 16.043 3.822 137 100 600

[ссылка]
O₂ 31.999 3.433 113 100 1000

[ссылка]

В качестве ответа вам необходимо предоставить следующее.

  1. Julia-пакет, реализующий описанную выше модель разреженного газа, имеющий следующий интерфейс

    • Структура для задания вещества;

    • Функция вычисления вязкости по структуре и температуре \(T\).

  2. С помощью разработанного пакета подсчитать вязкости для веществ из таблицы в указанных диапазонах температур с шагом в 1 Кельвин;

  3. Построить по графику \(\eta_{0\text{c}}(T)\) для каждого вещества (форматы .jpg, .png или .pdf). На график нанести

    • Подсчитанную вязкость вещества из модели

    • Данные NIST по вязкости для вещества (5-6 точек). (Ссылка указана в таблице, необходимо только поменять ось Y на «Viscosity (μ Pa * s)».)

Структура ответа

- Julia-пакет/
- Output data/
  - co2.tsv
  - co2.nist.tsv
  - ...
- Output plots/
  - co2.{jpg|png|pdf}
  - ...
- Скрипты, по которым подсчитаны данные (и построены графики)
- ...

Примечание

The National Institute of Standards and Technology (NIST) Сhemistry Webbook [ссылка] является базой данных по свойствам веществ. Часть данных экспериментальная, другая часть построена по корреляциям. Страница вещества с данными содержит список источников, где это можно уточнить.

Подсказки

Сгенерировать пакет можно с помощью команды pkg> generate <package_name>. Основной модуль будет лежать в директории <package_name>/src/<package_name>.jl.

Для работы с табличными данными есть встроенная библиотека DelimitedFiles.

Для генерации сеток см. range.

Для броадкаста по собственной структуре данных см. Векторизация функций.

Для построения графиков можно. (1) Записать в файл данные и построить график какой-нибудь программой (табличный процессор или, например, gnuplot). (2) Воспользоваться Plots.jl.