3. Линейные системы уравнений

В этом разделе рассматривается решение линейной системы уравнений

\[\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b},\]

которая в явном виде представляет собой

\[\begin{split}\begin{split} A_{11} x_1 + A_{12} x_2 + \cdots + A_{1n} x_n &= b_1 \\ A_{21} x_1 + A_{22} x_2 + \cdots + A_{2n} x_n &= b_2 \\ \vdots \\ A_{n1} x_1 + A_{n2} x_2 + \cdots + A_{nn} x_n &= b_n. \end{split}\end{split}\]

В курсе линейно алгебры решение системы записывается в виде

\[\mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{b},\]

если обратная матрица \(\mathbf{A}^{-1}\) существует.

Так, задачу решения линейной системы можно свести к нахождению обратной матрицы системы. Однако, существуют более эффективные способы, о которых и пойдёт речь в данном разделе.

Примечание

Для примеров данного раздела требуется подключение стандартной библиотеки LinearAlgebra. Для этого в начале файла с исходным кодом или в REPL напишите строчку.

using LinearAlgebra