5. Численное интегрирование

В математическом анализе рассматривается задача нахождения определённого интеграла

(5.1)\[I = \int_a^b f(x)\diff x,\]

где \(f(x)\) будем считать непрерывной и без особенностей на \([a, b]\).

Однако, не для любой подынтегральной функции существует первообразная, выражаемая через элементарные функции.

Определение 5.1 (Квадратурная формула)

Задача численного интегрирования сводится к приближённому вычислению интеграла (5.1) и выражается в виде квадратурной формулы

(5.2)\[\int_a^b f(x)\diff x \approx \sum_{i=0}^n w_i f(x_i),\]

здесь отрезок \([a, b]\) был разбит \(n+1\) точкой на \(n\) интервалов. Точки \(x_i \in [a, b]\) называют узлами (nodes), а \(w_i\) – весами (weights) или коэффициентами квадратурной формулы.

Определение 5.2 (Погрешность квадратурной формулы)

Разность

\[\tau_f(n) = \int_a^b f(x)\diff x - \sum_{i=0}^n w_i f(x_i)\]

называют погрешностью квадратурной формулы (truncation error). Погрешность зависит от числа узлов, их расположения и выбора весовых коэффициентов \(w_i\).

Введём сетку \(\omega_h = \{x_0 = a < x_1 < \dots < x_N = b\}\), тогда интеграл (5.1) можно разбить на сумму интегралов по отрезкам \([x_{i-1}, x_i]\)

(5.3)\[\int_a^b f(x)\diff x = \sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)\diff x.\]

Определение 5.3 (Составная квадратурная формула)

Если на каждом из отрезков \([x_{i-1}, x_i]\) интеграл приближается квадратурной формулой в форме (5.2), то выражение (5.3) называют составной квадратурной формулой.

Популярны составные квадратурные формулы для частного случая равномерной сетки \(\omega_h = \{x_i = a + ih, i = 1, \dots, N, h = \frac{b - a}{N}\}\).

Видно, что для вывода квадратурных формул достаточно рассмотреть в качестве базового случая интегрирование по отрезку (5.2), а затем при необходимости воспользоваться формулой (5.3).

Также для вывода квадратурных формул зачастую удобно рассматривать интегрирование на отрезках \([0, 1]\) или \([-d/2, d/2]\), а для интегрирования на произвольном отрезке \([a, b]\) применять преобразование

\[\int\limits_{a}^{b} f(x)\diff x = (b - a)\int\limits_{0}^{1} f(a + x(b - a)) \diff x = \frac{b - a}{d}\int\limits_{-d/2}^{d/2} f\Big(a + (x + 1)\frac{b - a}{d}\Big) \diff x,\]

В этом разделе рассмотрим некоторые из квадратурных формул.