Задания

9.4. Задания#

9.4.1. Решение системы ОДУ#

Напишите реализацию явного 4-этапного метода Рунге-Кутты для решения задачи Коши для системы уравнений (см. (9.8)).

Проверьте метод, решив следующие задачи.

Задача 1.

\[\begin{split}\begin{split} \mathbf{u}' &=\begin{bmatrix} u'_1\\ u'_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_1 + u_2 \\ u_1 + u_2 + t \end{bmatrix} = \mathbf{f}(t, \mathbf{u}),\quad t \in (0, 1], \\ \mathbf{u}(0) &= \begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}. \end{split}\end{split}\]

Задача 2.

\[\begin{split}\begin{split} u'' + u' - 2t &= 0, \quad t\in(0, 1],\\ u'(0) = u(0) &= 0. \end{split}\end{split}\]

9.4.2. Эллиптическая орбита#

В этом задании вам предстоит рассчитать эллиптическую орбиту тела массы \(m = 1\) в гравитационном поле с (неподвижным) источником в \(\mathbf{r}_\text{source} = [0, 0]^\top\) и массой \(m_\text{source} = 1\). Второй закон Ньютона для тела запишется в виде

(9.11)#\[\frac{\diff^2 \mathbf{r}}{\diff t^2} = -\frac{1}{|\mathbf{r}|^2}\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|},\]

где \(\mathbf{r} = [r_1, r_2]^\top\) – радиус-вектор тела, а \(|\mathbf{r}|\) – его длина.

Отличительным свойством задачи является наличие периодических решений. Eсли

(9.12)#\[\frac{|\mathbf{v}|^2}{2} - \frac{1}{|\mathbf{r}|} = \varepsilon < 0,\]

где \(\mathbf{v}\) – скорость тела, то решение (9.11) периодическое с периодом

\[T = 2 \pi a^{3/2},\: a = - \frac{1}{2 \varepsilon}.\]

Другими словами, при соблюдении условия (9.12) орбита эллиптическая (если начальная скорость не направлена к источнику).

Задание

  1. Подберите такое начальное условие, чтобы решением (9.11) была эллиптическая орбита. Рассчитайте один период орбиты явным 4-х этапным методом Рунге-Кутты (РК4). Исследуйте, при каких шагах интегрирования \(\tau\) орбита замыкается. Приведите один график \((r_1(t), r_2(t))\) c орбитами для нескольких шагов \(\tau\).

  2. Реализуйте метод Верле (velocity Verlet). Данный метод используется для решения гамильтоновых систем, распространён в атомистическом моделировании и имеет второй порядок аппроксимации. Рассчитайте один период орбиты, исследуйте, при каких шагах интегрирования орбита замыкается или прецессирует. Также приведите один график, как в п. 1.

  3. Схема Верле, в отличие от РК4 является консервативной по энергии. Повторите расчёты обоими методами, но уже на больших времёнах (десятки \(T\)). Для одинаковых начальных условий ожидается, что орбита, рассчитанная методом РК4 будет сжиматься (система теряет энергию), а орбита, рассчитанная методом Верле, будет в общем случае прецессировать. Приведите два графика, отражающие описанные эффекты: (а) орбита, рассчитанная методом Верле, (б) орбита, рассчитанная РК4.

  4. Для решений из п. 3 подсчитайте зависимость полной энергии системы от времени \(E(t)\). Ожидается, что в случае метода Верле энергия будет колебаться у значения в начальный момент времени \(E(0)\), а в случае метода РК4 – убывать. Приведите один график с двумя зависимостями: (а) \(E(t)\) в методе Верле и (б) \(E(t)\) в методе РК4.

Содержание