6. Нелинейные уравнения

В этом разделе изучается задача поиска корня нелинейного уравнения

\[f(x) = 0.\]

Вычислительный аналог этой задачи мы определим следующим образом.

Определение 6.1 (Задача поиска корня нелинейного уравнения)

Пусть дана непрерывная функция \(f\), и параметры \(\text{xtol}\) и \(\text{ftol}\). Пусть корень уравнения \(f(x) = 0\) единственен и равен \(x = x^*\).

Необходимо найти \(x = r\) такой, что выполнится либо гарантия локализации корня

\[ r: |x^* - r| < \text{xtol}, \]

либо гарантия малости функции

\[ r: |f(r)| < \text{ftol}. \]

Первое условие подходит для методов, пользующихся тем, что непрерывная функция, имеющая разные знаки на концах отрезка \(f(a) f(b) < 0\) содержит корень \(x^* \in [a, b]\). Второе условие подходит для остальных методов. Для некоторых методов подходит условие близости последних приближений решения.

Для задачи поиска корня можно показать.

Утверждение 6.2 (Число обусловленности задачи поиска корня)

Для дифференцируемой в корне \(x^*\) функции \(f\) число обусловленности задачи поиска корня \(f(x) = 0\) имеет вид [DB17]

\[ \kappa_r = |f'(r)|^{-1}. \]

Также добавим, что в случае нескольких корней можно сначала найти первый корень \(x^*_1\) функции \(f\), а затем продолжить поиск других корней, но уже для функции \(f(x)/(x-x^*_1)\) [89]. Кроме того, существуют процедуры по локализации корней функции, после чего задача сводится к поиску корня на каждом из интервалов по отдельности [PTVF07].