6. Нелинейные уравнения#
В этом разделе изучается задача поиска корня нелинейного уравнения
Вычислительный аналог этой задачи мы определим следующим образом.
Пусть дана непрерывная функция \(f\), и параметры \(\text{xtol}\) и \(\text{ftol}\). Пусть корень уравнения \(f(x) = 0\) единственен и равен \(x = x^*\).
Необходимо найти \(x = r\) такой, что выполнится либо гарантия локализации корня
либо гарантия малости функции
Первое условие подходит для методов, пользующихся тем, что непрерывная функция, имеющая разные знаки на концах отрезка \(f(a) f(b) < 0\) содержит корень \(x^* \in [a, b]\). Второе условие подходит для остальных методов. Для некоторых методов подходит условие близости последних приближений решения.
Для задачи поиска корня можно показать.
Для дифференцируемой в корне \(x^*\) функции \(f\) число обусловленности задачи поиска корня \(f(x) = 0\) имеет вид [DB17]
Также добавим, что в случае нескольких корней можно сначала найти первый корень \(x^*_1\) функции \(f\), а затем продолжить поиск других корней, но уже для функции \(f(x)/(x-x^*_1)\) [89]. Кроме того, существуют процедуры по локализации корней функции, после чего задача сводится к поиску корня на каждом из интервалов по отдельности [PTVF07].