9. Обыкновенные дифференциальные уравнения#
В данном разделе рассматривается решение обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности, мы рассмотрим задачу Коши для уравнения
(9.1)#\[\begin{split}\begin{split}
\frac{\diff u}{\diff t}(t) &= f(t, u(t)),\quad t \in (0, T],\\
u(0) &= u_0.
\end{split}\end{split}\]
и для системы уравнений
\[\begin{split}\frac{\diff \mathbf{u}}{\diff t}(t) &= \mathbf{f}(t, \mathbf{u}(t)), \quad t \in (0, T],\\
\mathbf{u}(0) &= \mathbf{u}_0.\end{split}\]
Для краткости, мы будем также использовать запись
\[\begin{split}\begin{split}
u'(t) &= f(t, u(t)),\\
\mathbf{u}'(t) &= \mathbf{f}(t, \mathbf{u}(t)).
\end{split}\end{split}\]
Существует несколько классов методов численного решения задачи Коши. Среди них можно выделить многошаговые методы и методы Рунге-Кутты.
Будем обозначать \(u(t)\) (точное) решение задачи Коши (9.1), а \(y(t)\) приближённое решение той же задачи.
Также введём равномерную сетку по переменной \(t\) с шагом \(\tau > 0\)
(9.2)#\[\omega_t = \{t_i = i \tau,\: i = 0, 1, 2, \ldots \}.\]
С помощью сетки введём обозначения для точного и приближённого решения в точке \(t_i\)
\[\begin{split}\begin{split}
u_i &= u(t_i),\\
y_i &= y(t_i).
\end{split}\end{split}\]